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凯利公式,个比较概率大小的问题

硬币正反不一样

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通常我们所说的硬币,都是理想硬币。但由于设计的原因,硬币正反面的花纹并不一样,这就导致了它的实际重心不在正中心上。由于重心有偏向,所以掷硬币时,正反面出现的概率也会有所偏差,想要知道这个偏差具体有多大,难度颇大。幸好花纹导致的概率偏差非常非常小,可以忽略不计。

尽管如此,但万一就遇到了一个死较真的和你玩抛硬币,我们能不能找到一个方法,让真实的硬币达到理想硬币的效果呢?

答案是能。我们可以用下面这种玩法“化腐朽为神奇”:连续掷两次硬币,如果两次结果是相同的(都是正面朝上或都是反面朝上),那就重新再连续掷两次硬币,直到结果不同为止(一次反面朝上,一次正面朝上)。这时,
[正,反] 的结果就可以对应掷理想硬币结果为正的情形, [反,正]
的结果就可以对应理想硬币为反的情形(反过来也可以)。

这是为什么呢?假设硬币掷出正面的概率是 p ,那掷出 [正,反] 的概率为 p(
1 – p ) ; [反,正] 的概率为 (1 –
p)p。二者相等,所以采取这种方法,即便是一枚非理想硬币,游戏结果也会变成完全公平的。


参考资料

《明知其输而博赢的概率分析》

《科学美国人 趣味数学集锦之二》

只比 A 多抛掷一次,那这就说明, B 的正面和反面不可能都比 A 多(否则 B
的硬币总数至少比 A 大 2 )。综上所述,要么 B 的正面比 A 更多,要么

除了100%赢

出门在外,恰逢不巧,你和朋友被困住了,干点什么呢。来几局三国杀?是个不错的提议,但问题是你带牌了吗,没牌怎么打?死理性派想说的是,会玩的孩子怎么不能玩!凑几个硬币,随随便便就能玩一整天。不得不说,硬币是世界上最好的游戏机,哦,前提是你得懂点数学。

元的赌注。如果小球落入了小明所选的格子里,则小明赢得 36 元(但那 1
元钱的赌注仍然归赌场);如果小球落入了别的格子里,则小明什么也得不到(那
1

看不见的是陷阱

后选择一定赢的硬币游戏

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对于粗心大意和无知的人来说,这个游戏就是一个十足的陷阱。让我们来看看这个它是怎么玩的。

抛三次硬币看最后哪一面朝上,结果无非只有这 8 种:

正正正 正正反 正反正 反正正 正反反 反正反 反反正 反反反

这个游戏的规则是,对手有优先选择权。首先对手在这 8
种组合中选一种作为他的组合,然后你选一组作为自己的组合。双方选定后,随便选一个人来连续抛硬币,直到他的或你的组合出现为止,谁的组合先出现谁就算赢。

这个游戏看上去没有什么问题,不管哪种组合,它们出现的概率都是一样的。但如果谁真这么想,那他可就输定了。事实上,先选的人一定会被针对。无论对手选择选择哪个组合,后选的人都可以选一个组合来针对他,使自己的获胜概率至少提高到
2/3 !

如果你不相信的话,就让我们选一个简单的例子来分析看看。假设对手选择的是“正正正”的组合,这时候我们只要选择“反正正”,胜率就可以瞬间到达
7/8。这是为什么呢?

如果前三次就抛出了“正正正”的结果,那对手就获胜了,这种情况发生的概率为
1/8
。但除此之外,只要最开始的三次对手没有获胜,那么我可以说,他已经没有获胜的机会了。因为前三次没有获胜,就说明在他获胜之前一定出现了反面,那第一次出现“正正正”的情况必然包含在如下的结果中:

……反正正正……

可以看到,当出现“反正正”的时候,他已经没有办法再玩下去了,因为那正是我们选择的组合,到这里我们已经获胜了。对于其他组合,这里不再专门讨论了,下面附出一张表格,给出了后选择的人采用正确策略的获胜概率,可以看到,后选择的人获胜的最低概率也是
2/3 。

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你是否觉得这个结果有些出乎意料?需要说明的是,在涉及到概率时,我们的直觉很多时候都是错误的。如果你不相信,来看看死理性派的
不要相信直觉!那些概率统计的奇妙结论
是如何颠覆你对世界的认识的吧。

A.选择第一种方案

拿出资金的25%来进行下注,才能使赌局收益最大化。

尼姆游戏

在所有二人游戏中,最古老最有魅力的就是这个尼姆游戏了(好吧,在所有二人数学游戏中)。据说它发源于中国,有时候孩子们用纸片玩,但通常人们出门可能很少带纸片,所以我们用硬币玩。

这个游戏最流行的版本是用 12 枚硬币摆成三行。

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游戏规则很简单,游戏双方轮流取 1
枚或多枚硬币(只能在同一行),谁拿到最后一枚就算赢。留心的朋友玩几把就可以琢磨出,只要在自己的某一个回合里留下两行多于
1
枚且数量相同的硬币,就能确保获胜。一个优势策略是,先手的人一开始就拿掉最上面一行
2 枚硬币,这样的话,离胜利就不远了。

有趣的是,有人发现,当扩展到任意多行,每行有任意枚硬币时,利用二进制,可以把这个游戏玩得风生水起。哈佛大学的数学教授布顿在
1901
年首次发表了论文详述了这个问题,也正是他,正式将这个游戏命名为尼姆游戏。

把玩家每一步操作之后的游戏局面叫做“棋局”。在布顿的论文中,如果玩家每一步操作后的棋局能保证自己获胜,那就是“安全的”,否则就是“不安全的”。每个不安全棋局都可以一步正确的操作变成安全的,而如果没有正确地操作,一个安全的棋局就会变成不安全的。

如何判定一个棋局是安全的还是不安全的呢?这就用到了前面提到的二进制。将每一行的硬币数都用二进制表示,按矩阵元素的排列方式对齐,这时候如果每一列的数(
0 或 1 )相加都为偶数(包括 0
),那么这个棋局就是安全的,只要有一列元素相加不为偶数,那这个棋局就是不安全的。

回到我们上面说的那个流行版本上,可以看到在初始状态,它的二进制表示如下图

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可以看到,第 2
列之和为奇数,所以这个本版的初始状态是不安全的。拿掉最上面一行的 2
枚硬币,第 1 行就变成了 1
,从而留下了一个安全棋局。通过用其他方法试验,可以看到,拿掉第 1 行的 2
枚硬币是留下安全棋局的唯一操作。

把棋局转化成上面这个二进制表格,根据表格决定怎么操作就不会出错了。但是在玩的时候,恐怕对手没那么宽容,让你不断画表格,在脑子中计算,一不小心就出错。那么记住下面这条就很有用了:在两行里留下同样多的硬币,总能赢。在此之后,让每行硬币数量保持相等就可以了。

尼姆游戏深受数学家喜爱并被广泛研究,它因此产生了很多变体。1910
年美国数学家穆尔就提出了一个,它规则与尼姆游戏相同,只不过玩家可以从不超过指定数
k
的任意多行里拿掉硬币。有趣的是,它同样可以通过二进制来分析,只要把安全棋局定义为:二进制表里的每列之和都可以被
k + 1 整除就可以了。

B 就处于了一个非常窘迫的位置:不管什么时候,只要掷出了一个正面,如果 B
没赢的话, B 就赢不了了——在出现“反反正”之前, A

b = 赔率,等于期望盈利 ÷可能亏损(也就是盈亏比)

之间在公园门口见面。每个人都会从 6:00 到 7:00
这段时间当中随机挑选一个时间,并在这个时间到达公园门口。每个人都只愿意等待
15 分钟,也就是说,如果

先告诉你怎么下注

C.上述两种情况的出现概率相同

3、期望值(bp-q)为正时,这时按照凯利公式投注赚钱最快,风险最小。

1 + 1 / 22+ 1 / 32+ 1 / 42+ 1 / 52+ … 究竟等于多少呢?我们来证明,它小于
2 。这是因为:

任何时候都不应下注

次的数字究竟出现在了哪 2 次, C(6, 4) 表示这 4 个数字究竟是哪 4
个数字,最后的结果除以 2 的原因是,第一个出现了 2 次的数和第二个出现了

凯利公式不是凭空设想出来的,这个数学模型已经在华尔街得到验证,除了在赌场被奉为正神,也被称为“资金管理器”,是比尔格罗斯等投资大佬的心头之爱。巴菲特依靠这个公式也赚了不少银子。回归到赌场讨论这个公式,根据f
= (bp-q) /
b公式结论,期望值(bp-q)为负时,赌徒不具备任何优势,也不应下任何赌注。这种赌博游戏,要下负赌注,也就是说你不如自己开个赌场当庄家。

这个问题的说法很不严谨。我们给出一个更加严谨的叙述方法。让我们用
PN来表示,从 1 到 N
中随机取出两个正整数,它们互质的概率是多少。我们的问题就是,当 N
趋于无穷时, PN的值究竟是大于 1/2 ,等于 1/2 ,还是小于 1/2 。

这小小的2个点的赢的概率貌似不起眼,但配上“大数法则”,就成为了赌场赚钱的利器!“大数法则”是数学家伯努利提出来的,说的是假设n(a)是n次独立重复实验中发生a的次数,p是每次实验发生a的概率,当n足够大的时候,对任意正数ε,有lim{[|(n(a)/n)|
p]<ε}=1,公式这么复杂,99%的赌徒都看不懂,看不懂没关系,我们只看结果,最终庄家赢到的钱=0.02*a。

A.再下一张牌是黑桃 A

01

。游戏开始后,一个白色小球会逆着轮盘旋转的方向滚动,最终等概率地落入 38
个格子中的一个。小明每次可以在任意一个格子上下 1

02

50%

只要进了赌场

。其中,只有方案 ② 对应的两条连线才会相交。因此,两条线段相交的概率是
1/3 。

然而你做梦都想不到的是:就是这小小的2%,最后却让你输得倾家荡产、家破人亡。

C.上述两种情况的出现概率相同

03

B.翻开第 4 张牌时出现了第一张 A

我们再进一步,就算双方的概率均等,你仍然是一个输家,这里涉及到“无限财富”和“赌徒输光定律”,这个定理在现实生活中有许多应用,如“姓氏消亡”“线粒体夏娃假说”,在概率均等的情况下,谁的资本大,谁的赢率高。

17.同时抛掷 6 颗骰子,出现下面哪种情况的可能性更大一些?

叶汉说的只是心理层面,现代赌场程序方面的设计,比叶汉当年要缜密得多,赌场集中了概率、级数、极限方面的数学经验。一个普通赌徒,只要长久赌下去,最终一定会血本无归,所谓的各种致胜绝技,除了电影里的周星星,现实里的周星驰都不信。

B.这三段木棒不能拼成一个三角形

如果你是冒险主义者,你可能会想,要玩就玩票大的,一次性把100元全压上,幸运的话,一次正面就可以获得200元,又是一段值得炫耀的赌史;可是,如果输了得把100元资产拱手献给对方,你就一无所有,好不容易来趟拉斯维加斯,这肯定不是明策。

类似地,如果不透明的盒子里有 W 个白球和 B
个黑球,不断从里面取出小球(不再放回),那么不管 i 是多少(0 < i ≤ W

其实最终结论只有一个:除了100%赢,任何时候都不应下全部赌注,即使赢的概率高达99.9%。

对玩家而言,这个游戏看上去简直是在白送钱:用三颗骰子掷出 6
个数中的一个,怎么也会有一半的概率砸中吧,那玩家起码有一半的时间是在赚钱,应当是稳赚不赔呀。其实,这是犯了和
de Méré 一样的错误——一颗骰子掷出玩家押的数有 1/6
的概率,并不意味着三颗骰子同时抛掷就会有 3/6
的概率出现此数。在抛掷三颗骰子产生的所有
63种情况中,玩家押的数一次没出现有 53种情况,所占比例大约是 57.87%
。也就是说,大多数时候玩家都是在赔钱的。

结语

C.上述两种情况的出现概率相同

庄家赚的钱最终只跟玩家下注大小有关!这也就是我们常说的“流水”,只要玩家不停地玩,庄家就会不停地赚!而不管玩家是输是赢,庄家始终是赢的!为什么赌场有“最小投注额”,因为扩大“流水”才能将利润最大化!

= 1 + 1 / 22+ 1 / 32+ 1 / 42+ 1 / 52+ …

的确,世界上有为数不多的“赌神”,他们当中有信息论的发明者香农,数学家爱德华·索普,路径理论的创始人蒙特卡罗等,他们通过一系列复杂的计算和艰深的数学理论,把某些赌戏的赢率扳回到50%以上,例如21点靠强大的心算能力可以把概率拉上去。但就凭你读书时上课打瞌睡输了只知道倍投翻本的可怜知识,以及九九乘法表的那点算力,还是先老实读完以下3条准则。

1/52 。

没有谁能说服一个堕落的赌徒,因为这是人格的缺陷。但如果你还是一个具有理性精神的人,别再迷恋所谓的运气。

。我们可以通过一些严格而复杂的计算来说明这一点,但在这里,我更愿意给出一些直观的解释。注意到,当最后一名乘客登机时,最后一个空位要么就是他的,要么就是第一个乘客的(其他的座位如果没被别人抢占,最终也会被它真正的主人占据)。这两个位置会面对

p = 获胜的概率(也就是抛硬币正面的概率)

来表示有子弹的弹槽,用符号 ○ 来表示空的弹槽。我们便能列出下面这张表:

04

23.在每一代的繁殖中,每个阿米巴原虫都有 2/3 的概率分裂成两个,有 1/3

什么才是不多不少的合适赌注呢?凯利告诉我们要通过选择最佳投注比例,才能长期获得最高盈利。回到前面提到的例子中,硬币抛出正反面的概率都是50%,所以p、q获胜失败的概率都为0.5,而赔率=期望盈利÷可能亏损=2元盈利÷1元亏损,赔率就是2,我们要求的答案是f,也就是(bp

这是一个强者愈强,弱者愈弱的过程,因此其中一支球队完胜另一支球队的概率并不会太低,两支球队最终打成平手的概率也并不会太高。事实上,两种情况发生的概率是相同的,都是

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1/3 的概率。在另外 2/3

赌徒迷信的是运气

为什么在玩一个明显对赌场更有利的赌博游戏中,精确地花费 105

  • q) ÷ b = (2 * 50% – 50%) ÷ 2 = 25%。

导师则犹豫不决,不知道该如何选择。怎么办呢?节目组给出了两种方案供小明选择。第一种方案是,
A 、 B 两位导师独立作出决定, C

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个黑色小球。你需要先从盒子 A 里随机取出一个小球,再从盒子 B

在公式中,各参数意义为:

6 点的概率分别是多少。

赌王何鸿燊接手葡京赌场时,业务蒸蒸日上,但理性的赌王仍然忐忑,请教“赌神”叶汉:“如果这些赌客总是输,长此以往,他们不来了怎么办?”叶汉笑道:“一次赌徒,一世赌徒,他们担心的是赌场不在怎么办。”

A.A 、 C 两人手中都没有梅花

你和我对赌,你有5块钱,我有10块钱,输光为止,那么你赢的概率就只有33.3%,而输的概率有66.7%(这里涉及到高斯的概率论和泰勒的级数论),后面隐藏的就是赌场大BOSS凯利公式,后面小节里将详加表述。

1 块钱;如果你选的数出现了两次,你将反赢 2
块钱;如果三颗骰子的点数都是你选的数,你将反赢 3

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其实,概率论的诞生本来就和赌博游戏是紧紧联系在一起的。提到概率论的诞生,不得不提一位名叫
Antoine Gombaud 的法国作家。这人出生于 1607

你就是一个穷鬼

A.B 手中的数排第 1 位

论数学,没有人能比赌场老板请的专家更精通数学。

,但这显然是不对的。如果抛掷骰子 6 次以上,出现一个 6 点的概率就会超过
100% ,这就更荒谬了。

对于小散户,赌场一般可以认为财富是无限多的,你赢不垮它,它却能吃了你。在赌场老板的眼里,世界只有两种人:一种现在是穷鬼,一种未来是穷鬼。

这个题目的答案是 C 。两种方案中,小明晋级的概率是相同的,都是 4/5
。即使把题目中 4/5 这个比例换一换,答案也依旧如此。不妨假设 A 、 B
两位导师投出赞成票的概率都是 p ,那么第一种方案中小明晋级的概率显然是
(1/2) · p + (1/2) · p = p 。第二种方案呢?两位导师都投出赞成票的概率是
p2,此时小明必然晋级; A 投出赞成票 B 投出反对票的概率是 p · (1 – p)
,此时小明有 1/2 的概率晋级(这取决于 C ); A 投出反对票 B
投出赞成票的概率是 (1 – p) · p ,此时小明有 1/2 的概率晋级(这取决于 C
);其他情况下小明都无法晋级。因此,第二种方案中小明晋级的概率为 p2+
(1/2) · p · (1 – p) + (1/2) · (1 – p) · p ,化简的结果是一样的: p 。

论理性,没有人能比赌场老板更理性。

15
分钟之后没有看见对方,那么就立即离开。那么,两人最终能见面的概率有多大?答案是
7/16 。

链接:

次操作之后,字符串变成 AAA…AAB 的概率是多少,字符串变成 AA…AABB…BB
(两种字母各半)的概率又是多少。下面我们来说明,这两个概率值都是

1、期望值(bp-q)为0时,赌局为公平游戏,这时不应下任何赌注。

张牌中的任何一张,其中有 26 张牌和你第一次翻开的牌颜色不同,但只有 25
张牌和你第一次翻开的牌颜色相同。

所有的赌场游戏,几乎都是对赌徒不公平的游戏。

为这根针与平行线的夹角。所有可能的针的位置,就可以用所有可能的 (x, y)
组合来表示,它们正好对应了矩形 (0, 1/2) × (0, π/2)

但这种不公平并非是庄家出老千,现代赌场光明正大地依靠数学规则赚取利润,从某种意义上来讲,赌场是最透明公开的场所,如果不是这样,进出赌场不知有多少狂命之徒,何鸿燊早怕九条命都不够。

的意思就是,先把整根木棒砍成 1 : 2 两段,再把较长的那段木棒砍成 1 : 2
两段。这样一来,所有可能的 (x, y) 组合就再一次均匀地对应了正方形

【嵌牛提问】一个普通赌徒,只要长久赌下去,最终一定会血本无归?**

这个题目的答案是 A

赌场大BOSS凯利公式:

(4, ?, ?, ?) 的情况更多,因为前者的问号处可以有更丰富的取值。

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B.球队 A 在所有 100 场比赛中恰好有 50 场获胜

你会怎么赌呢?

咯?不对!这道题的正确答案其实是 A 。在这道题中, 105
这个数起到了比较关键的作用。让我们来实际计算一下。

规则是这样的,掷硬币,正面赢反面输,赢了可以拿走一倍的钱,输了会赔掉本金,你玩不玩?你可能觉得,唉,这游戏不错,公平!恰好运气也不错,第一把赢了100元!你高兴坏了,这时候庄家跟你说,你看你也赢了这么多,我呢,辛辛苦苦搭个场子,最后什么都没捞着,要不这样,你赢了,就给我留下2%,就算是救济救济老哥,给捧捧场!你一听,2%,才这么点,拿去吧,不差钱!好了,这事就这么定下来了。

4月

你和我对赌,你我各有5块钱,输光为止。那么你赢的概率是50%,输的概率也是50%。

A.这三段木棒能拼成一个三角形

赌徒永远不明白,与自己对赌的不是运气,也不是庄家,他们是在与狄利克雷、伯努利、高斯、纳什、凯利这样的大师对决数学,赢的胜率能有多大?

即:

让我们来看看凯利公式的庐山真面目:

B.B 获得游戏的胜利

“无限财富定律”也解释了赌场设置最大投注额原因。不是老板好心保护赌徒免遭破产,只是老板为了保护自己设置的安全屏障,想象下万一哪天比尔盖茨去赌场找乐子,一次性砸个几百亿进去,那赌场老板真的要哭了,虽然这种事情不太可能发生,但也不能不防,所以赌场根据自己的财富能力设计最高投注额,也就是为了抵抗“无限财富定理”!

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我们先说一个最简单的赌博游戏:赌运气猜硬币。

1 / 22+ 1 / 24+ 1 / 26+ 1 / 28+ …

赌场操盘者的每一次下注的时候,都会谨记数学原则,而作为普通赌徒,除了心中默念“菩萨保佑”外,哪里知道这后面的数理知识。

这个题目的答案是 A
。这个答案并不出人意料。你不妨考虑一个非常极端的情况:假设一副牌里只有三张牌,其中两张是
A ,另外一张是 2 。那么,洗好牌后,三张牌的顺序有 AA2, A2A, 2AA
三种(如果把两张 A 看作是两张不同的 A ,那么三张牌的顺序有 A1A22, A2A12,
A12A2, A22A1, 2A1A2, 2A2A1六种)。翻到第 1, 2, 3 张牌时出现第一张 A
的概率分别是 2/3, 1/3, 0 。

赢得胜利的唯一法则:不赌

C.上述两种情况的出现概率相同

论赌本,没有人能比赌场老板的本钱更多。

,所以黑球的奇偶性始终保持相同。初始时盒子里有奇数个黑球,今后盒子里就永远有奇数个黑球。所以,如果最后盒子里剩了
1 个小球,那它必然是黑球。

【嵌牛鼻子】数学

1 + 1 / 22+ 1 / 32+ 1 / 42+ 1 / 52+ …

有一个简单2赔1的赌局,扔硬币下注,硬币为正面则得2元,如果为反面则输掉1元,你的总资产为100元,每一次的押注都可投入任意金额。

A.第 1 次就取到了黑球

如果你是保守主义者,你可以会想,谨慎点,百分之一慢慢来。你每次只下注1元,正面赢2元,反面输1元。玩了20把突然觉得,对方下注10元一次就赢得20元,自己一次才赢2元、10次才能赢得20元,后悔已经错过几个亿!

这篇文章中的题目是我长期收集而来的。大部分题目都是非常经典的题目,它们可以在
The Colossal Book of Short Puzzles and

2、期望值(bp-q)为负时,赌徒不具备任何优势,也不应下任何赌注。

5/6 、 5/6 、 1 。看来,并不是所有游戏都是先下手为强啊。

公式上面的分子bp-q代表“赢面”,数学中叫“期望值”。

p = (2/3) · (1 – (1 – p)2)

如果你想真正赢得这场赌局,法则只有一个:不赌。

B.B 手中的数排第 51 位

赌徒能够依靠的是祖宗保佑,而赌场后面的大佬是高斯、凯利、伯努利这样的大神。你怎么可能赢得了庄家?

输掉的概率又变回了 p 。于是,我们得到:

学号:16069130022                              姓名:李凤仪

3.桌子上有 A 、 B 两个不透明的盒子,盒子 A 里有 m 个白色小球和 1
个黑色小球,盒子 B 里有 n 个白色小球和 1

q = 失败的概率,即1 – p(也就是硬币反面的概率)

事实上,设 A 输掉的概率为 p ,我们可以巧妙地求出 p 来。怎样的情况下 A
才会输掉呢?如果 A 第一次就掷错了,他就直接输了,这有 1/2

f\ =(bp-q)/ b*

Anchor)的赌博游戏,其规则与“骰子掷好运”一模一样。唯一不同之处只是骰子而已。普通骰子的六个面分别是
1 点到 6

f\ = 应投注的资本比值*

这个题目的答案显然应该是 A 。若每次取出黑球的概率为 p ,则第 1
次就取到黑球的概率为 p ,到第 4 次才取到黑球的概率为 (1 – p) · (1 – p) ·
(1 – p) · p ,后者永远比前者更低。如果我们把第 n 次才取到黑球的概率记为
Pn,那么就有:

所以别以为自己有多聪明,你要庆幸自己玩得不够久而已,十赌九输正源于此。

A.该掷正面的时候掷出了反面

所以,就算你赢得了财神爷的支持,但你也永远赢不了“凯利公式”。

B.m = 4,n = 6

100太多1块太少,该投入多少比例下注?普通赌徒看似无解,但凯利公式告诉你答案是25%!

了,则视最终结果为“反”。

【嵌牛正文】

A 获胜;如果是后者,那么 B 获胜。理论上,下面哪种情况的可能性更大一些?

看得到的是概率

骑士。后来,这个名字便逐渐取代了他的真名 Antoine Gombaud 。不过, de
Méré


元钱,就能做到赚时多亏时少?如果每个人都这么做,赌场岂不是会被搞垮?这不跟游戏对赌场更有利的结论相矛盾吗?其实,赚的时候更多,并不意味着期望收益为正。虽然赚的时候多,亏的时候少,但赚的时候往往是赚小钱,亏的时候往往是亏大钱,平均算下来,玩家仍然是在不断送钱的。

赌场相信的是数学

A.不同数字的个数恰好为 4 个

【嵌牛导读】别去赌场了,你永远赢不了“凯利公式”

次硬币。但是,只有你抛掷出的正面次数严格大于我抛掷出的正面次数,才算你获胜;如果我们抛掷出的正面次数相同,那也算我获胜。”新的一轮游戏开始了,按照约定,
A

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25.A 、 B 两支球队之间要打 100 场比赛。初始时,两支球队的经验值都为 1

凯利公式在高级赌徒的世界里大名鼎鼎,那什么是凯利公式,我们先看一个例子:

注意到,这个问题是有意义的。阿米巴原虫要么在有限代之后灭绝,要么无限地繁殖下去。我们的问题就是,究竟发生哪种情况的可能性更大。

如果你可以自己安排每个小球的位置(但黑白小球的总数不变),那么不管是在原游戏中还是在改版后的游戏中,为了让自己的胜率达到最大,你都应该在其中一个盒子里只放

2 次的数有可能分别是我和你,也有可能分别是你和我,这被算重了。

B.A 、 C 两人手中囊括了所有的梅花

B.到第 4 次才取到黑球

A.A 获得游戏的胜利

花 1 元赌某一个格子,中签的概率是 1/38 ,但却只能赢来 36
元。毫无疑问,轮盘赌是一个赤裸裸的对赌场更有利的赌博游戏。所以,这道题应该选
B

则抛掷一枚公正的硬币,如果硬币正面朝上,则投出赞成票,如果硬币反面朝上,则投出反对票,最后晋级与否则取决于三人中的多数票。为了提高晋级的概率,小明应该选择哪种方案?

假设把 n 封信装进 n 个信封里,全都装错的情况有 Dn种。那么,数列 D1, D2,
D3, … 满足一个非常简单的递推关系: Dn= (n – 1) (Dn-1+ Dn-2)
。为什么呢?我们慢慢来分析。由于每封信都装错了,因此第 1 封信没有装进 1
号信封。无妨假设它装进了 2 号信封。那么,第 2 封信装到哪儿去了呢?如果第
2 封信正好装进了 1 号信封,那么剩下的 n – 2 封信就有
Dn-2种可能的装法。如果第 2 封信没有装进 1 号信封呢?情况就变成了这样:第
2, 3, 4, …, n 封信装进了编号分别为 1, 3, 4, …, n 的信封里,其中第 2
封信不在 1 号信封里,第 3 封信不在 3 号信封里,第 4 封信不在 4
号信封里……总之,这 n – 1
封信中,每封信都正好有一个禁放的信封。于是,这就构成了
Dn-1种可能的装法。当然,第 1 封信也有可能装进了 3
号信封里,也有可能装进了 4 号信封里……因此,我们就有 Dn= (n – 1) (Dn-1+
Dn-2) 。

名玩家是在赔钱的,因此平均下来每个玩家也是在不断输钱的。

说:“要不这样吧,我们把游戏规则改一下。我允许你多抛掷一次硬币。也就是说,我仍然抛掷
10 次硬币,你却能抛掷 11

,每一次你需要随机选择一个字母,如果选中了 A ,就把它变成 AA
,如果选中了 B ,就把它变成 BB 。第一次操作之后, AB 有可能变成 AAB

用于抛掷三颗骰子的装置很有创意。它是一个沙漏形的小铁笼子,三颗骰子已经预先装进了这个笼子里。庄家“抛掷”骰子,就只需要把整个沙漏来个
180

个数往空中一撒,问最后一个落地的数更有可能是排第几的数。

先来看一个似乎与此无关的东西:把 0 到 100
之间的数随机排成一行的另类方法。首先,在纸上写下数字 0 ;然后,把数字 1
写在数字 0

A.阿米巴原虫在有限代之后灭绝

如何用一种硬币去模拟另一种硬币,这是一个非常有趣的话题,里面大有文章可作。比方说,我们完全可以提出一个和刚才的问题正好相反的问题:如果你手里有一枚不公正的硬币(你不知道它的正反两面朝上的概率各是多少,你甚至不知道它的哪一面朝上的概率更大),如何才能把它当作一枚公正的硬币来使?办法有很多。比方说,考虑连续抛掷两次硬币后的结果:如果结果是一正一反,那么先正后反和先反后正的概率一定是相同的(即使这枚硬币是不公平的)。借助这一点,我们就有了下面这个方案:连续抛掷两次硬币,如果两次抛掷的结果是“正反”,就视最终结果为“正”;如果两次抛掷的结果是“反正”,就视最终结果为“反”;如果是其他情况,就重新再来。

p = p0· (1 – (1 – p)2)

○○⊙⊙⊙○ → 先开枪者死

封信装对,这是根本不可能的——如果其中 9
封信都装对了,剩下的那一封信肯定也装对了。

21.小明上了几次象棋课,回到家得意地要和爸爸妈妈一比高低。爸爸说:“好啊,那我们来搞一次家庭挑战赛吧。比赛分三轮进行,爸爸妈妈将会作为你的对手轮番上场。如果你在任意连续的两轮比赛中获胜,你就能得到一大笔零花钱。对了,挑战赛开始前,你可以指定爸爸妈妈的出场顺序哦。”小明深知,战胜爸爸的概率更低,战胜妈妈的概率更高(事实上也的确如此)。为了提高得到零花钱的概率,小明应该怎样安排爸爸妈妈的出场顺序?

C.上述两种情况的出现概率相同

回到原问题。如果是 10
枚硬币的话,又该怎么办呢?大家或许想要故技重施,但却发现这回不管用了。虽然
0 正 10 反和 10 正 0

的概率。上一题就相当于是问,数轴上的点更有可能会在有限步之后到达 x = 0
的位置,还是更有可能永远都到不了 x = 0

的“正反反”必然会先出现。

个信封里(每封信都装进了一个不同的信封里),下面哪种情况的可能性更大一些?

101010… 。如果在前面加一个小数点,这就变成了一个 0 到 1 之间的二进制小数
0.101010… ,它等于十进制中的 2/3

当 p0= 1 时,问题的答案显然应该为 1 ;

(1 + 1 / 22+ 1 / 24+ 1 / 26+ … ) · (1 + 1 / 32+ 1 / 34+ 1 / 36+ … )

度大回旋,倒立过来放置即可。因此,“骰子掷好运”还有一个别名——“鸟笼”(birdcage)。

12.把一副洗好的牌(共 52

16. A 、 B

13.同时抛掷 10 枚硬币,出现下面哪种情况的可能性更大一些?

提出了上述游戏的一个加强版。去掉一副扑克牌中的大小王,洗好剩下的 52
张牌后,一张一张翻开。一旦出现连续三张牌,花色依次是红黑黑,那么玩家 A

B.我永远不会掉下悬崖

的概率反面朝上呢?此时,“分类讨论法”就不管用了。但是,刚才的“二进制小数法”依旧有效。不断抛掷硬币并记录抛掷结果,
1 代表正面, 0

4.不透明的盒子里有 10 个白球和 1

B 的反面比 A
更多。由于硬币本身是公正的,因此这两种情况出现的几率相等,它们各为 1/2
。但是, B 的正面比 A 更多就意味着 B 获胜了, B

10.把一副洗好的牌(共 52
张)背面朝上地摞成一摞,然后依次翻开每一张牌,直到翻出第一张 A
。那么,下面哪种情况的可能性更大一些?

别忘了, 1 + 1 / 22+ 1 / 32+ 1 / 42+ 1 / 52+ …
是我们把所求的概率值取了倒数后的结果。因此,我们所求的概率值就应该大于
1/2 了。也就是说,这道题目的正确答案是 A 。

。这背后有一个很简单的直觉:中间那个人一定不能太强,因为中间那场输了,整个儿就没机会了。

块钱。用赌博的行话来说,你所押的数出现了一次、两次或者三次,对应的赔率分别是
1:1 、 1:2 、 1:3 。

次硬币,次次正面朝上,赢得观众雷鸣般的掌声。其中一个观众不服气地说:“该不会你趁我们不注意,把硬币换成了两面都是正面的特殊硬币吧!如果你有本事的话,你给我们掷出一个‘正反正反……’的序列出来!”为了保住自己的颜面,魔术师只好把那枚正常的硬币变回手中,硬着头皮开始抛掷硬币。倘若魔术师抛掷硬币没有任何技巧,每次是正是反的概率相同,那么魔术师无限地抛掷下去,第一次出错更有可能出在什么地方?

50.154321% 。

= 2

20.小明参加某电视台的选秀节目。 A 、 B 、 C
三位导师欣赏了小明的一番激情演唱后,需要投票决定小明能否晋级。小明的表演征服了
A 、 B

A.小明赚着离开了赌场

= 1 / (1 – 1 / 4) – 1

其实,这个答案有一个非常直观的解释。想象 A 、 B
两人玩一个掷硬币游戏。两人轮流抛掷硬币,但 A 必须掷出正面, B

Pascal
可是真资格的数学家。他很快便意识到,这种问题的计算不能想当然,事实和直觉的出入可能会相当大。比方说,
de Méré

C.上述两种情况的出现概率相同

注意,这里用到了一个假设:如果 p 和 q 是两个质数,那么能否被 p
整除和能否被 q 整除,这是互相独立的。事实上也确实如此:一个数能被 p

由于 p < q ,因此前一个式子一定比后一个式子更大。

组成的交集区域里。利用定积分可以求出,这部分区域的面积占整个正方形面积的
2 · ln(2) – 1 ≈ 38.63% 。这就是答案。

4), (1, 2, 3, 5), (1, 2, 3, 6), …, (49, 50, 51, 52) 。其中,形如 (3, ?,
?, ?) 的情况显然比形如

枚硬币,正准备抛掷最后一枚硬币。不管前 9
枚硬币抛掷成啥样,最后这枚硬币的正反都将会起到决定性的作用,具体情况分为两种,视前
9

C.上述两种情况的出现概率相同

可以证明, 1 + 1 / 22+ 1 / 32+ 1 / 42+ 1 / 52+ … 实际上等于 π2/ 6
。因此,任意两个正整数互质的概率就是 6 / π2≈ 0.608 。神奇的数学常数 π
经常会出现在一些与圆形八竿子打不着的地方,比如我们之前提过的 Buffon
投针问题。而大家刚才看到互质概率问题,才是我觉得最为经典的例子之一。

类似地,如果采用妈妈、爸爸、妈妈的顺序,则得到零花钱的概率就是:

解得 p = 0 或 p = (2 · p0– 1) / p0。那么, p
究竟是多少呢?注意到以下三点:

A 、 C 两人手中都没有梅花,等价于 B 、 D
两人手中囊括了所有的梅花,它的概率与 A 、 C

相同。那么,游戏结果将完全取决于 B 的最后一次抛掷:如果 B
抛掷出正面,胜;如果 B

张牌)后,下面哪种情况的可能性更大一些?

10

为什么我们可以舍去 p = 1
呢?这里,我们可以使用和上一题类似的思路。如果用 p0代替题目中的 2/3
,则上面的式子变为了:

个数所产生的 P(1000, 101) 种排列方案, B
选的那个数将会等可能地出现在各个位置。因此,这个题目的答案是 C 。

很多人的直觉都是,排第 1
可能性不大,排中间可能性更大。而实际上,考虑所有 101 个数的 101!
种排列方案,或者从 1000 个数里选 101

必须掷出反面,谁掷错了谁就立即输掉游戏。如果 A
先抛硬币,谁输掉的概率更大?那当然是 A 输掉的概率更大,因为他先掷嘛!

其实,这两道题的本质就是完全一样的。让我们把阿米巴原虫数量的变化想象成是数轴上不断左右移动的点。刚开始,这个点在
x = 1

如果你还想不明白的话,你干脆直接想成是, A 抽了 100 个数,然后再帮 B
抽了一个数,问帮 B

7.在一根木棒上随机选择两个点,并在这两个点处下刀,把木棒砍成三段。下面哪种情况的可能性更大一些?

“骰子掷好运”的规则看上去非常诱人。每局游戏开始前,玩家选择 1 到 6
之间的一个数,并下 1

B.选择第二种方案

18 世纪英国皇家海军的水手间流行过一种叫做“皇冠和船锚”(Crown and

如果把两种甚至更多种不同的硬币组合起来使用,在某些限制条件下模拟出某些特定的概率事件,这里面的水就更深了。这里有一个与此相关的问题,感兴趣的话不妨去看看:http://www.matrix67.com/blog/archives/6151。

C.上述两种情况的出现概率相同

C.上述两种情况的获胜概率相同

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