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勾股定理,神秘莫测的数字

大家中学时就学过,根号 2
是一个无理数,它不能表示成两个整数之比,是一个看上去毫无规律的无限不循环小数。早在古希腊时代,人们就发现了这种奇怪的数,这推翻了古希腊数学中的基本假设,直接导致了第一次数学危机。

量子力學

海森堡不确定性原理:

本文绘图使用:http://zh.numberempire.com/graphingcalculator.php,在次感谢作者!

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可定义数与不可定义数

尽管蔡廷常数算不出来,不过我们却知道蔡廷常数是什么。它有一个明确的定义。但是,并不是所有的数都能够用有限的文字描述出来的。原因很简单,因为长度有限的文字段落是可以逐一枚举的(虽然有无穷多),而全体实数是不能枚举的,因此总存在一些不可能用语言描述出来的数。这种数就叫做不可定义数(undefinable
number)。

自然数也好,有理数也好,根号 2
也好,圆周率也好,蔡廷常数也好,它们都有明确的定义,都属于可定义数的范畴。事实上,整个人类历史上所有文献提到过的所有实数都是可定义的,因为它们都已经被我们描述出来了。但是,由于可定义数与全体实数的数量根本不在一个级别上,不可定义的数远远多于可定义的数。

那么,谁发现了第一个不可定义数呢?答案是,从没有人发现过不可定义的数,以后也不会有人找到不可定义的数。因为不可定义数是无法用语言描述的,我们只能用非构造的方式证明不可定义数的存在性,但却永远没法找出一个具体例子来。

好在,虽然有那么多数是没有办法描述的,但数学家们也不会损失什么。每一个值得研究的数一定都有着优雅漂亮的性质,这些性质就已经让它成为了能够被定义出来的数。

数学分析

Leibniz定理:

Wallis公式:

高斯积分:

A graph of the Gaussian function

图片 2=e%5E%7B-x%5E2%7D)

The colored region between the function and the x-axis has area √π.

高斯分布

斯特林公式:

π的连分数表示:

哥猜的最后的难题在于三个质数的和与两个质数的和。

可计算数与不可计算数

圆周率的小数展开看上去似乎是完全随机的,但毕竟是有办法算出来的。如果你想知道
π 的小数点后第一亿位是多少,我总能在有限的时间里算出答案来。

1975 年,计算机科学家格里高里·蔡廷(Gregory
Chaitin)研究了一个很有趣的问题:任意指定一种编程语言中,随机输入一段代码,这段代码能成功运行并且会在有限时间里终止(不会无限运行下去)的概率是多大。他把这个概率值命名为了“蔡廷常数”(Chaitin’s
constant)。

这听起来有点不可思议,但事实上确实如此——蔡廷常数是一个不可计算数(uncomputable
number)。也就是说,虽然蔡廷常数是一个确定的数字,但现已在理论上证明了,你是永远无法求出它来的。

数论

两个任意自然数是互质的概率是

任取一个任意整数,该整数没有重复质因子的概率为

一个任意整数平均可用

个方法写成两个完全数之和。

公元前三百年的欧几里得的《原本》中就记录了质数无限的证明方法。设想公元前三百年十进制还处理朦胧阶段,没有数学符号的表达,欧几里得用天才的智慧,通过反证法巧妙的证明了质数的无限性,叹为观止。

事实上,根号 2 只是最普通的无理数。在无理数大家庭中,还有很多比根号 2
更诡异的数。

微積分

使用微积分,我们将圆象洋葱一样分为薄圆环,递增地求出面积。

对“洋葱”,以 t 为半径的无穷薄圆环,贡献的面积是 2πt
dt,周长的长度乘以其无穷小宽度。这样对半径为 r
的圆给出了一个初等积分:

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这又是一个让人想死的问题。简单的说,相差2的质数成为孪生质数,比如5,7,
还有11.13。

代数数与超越数

根号 2 虽然是无理数,不过也不是那么没规律了。它是方程 x 2 – 2
= 0 的其中一个解。如果某个数能成为一个整系数多项式方程(a n ·
x n + … + a 1 · x + a 0 =
0)的解,我们就把它叫做“代数数”(algebraic
number)。那些用根号表示出来的无理数,全都是代数数。

不是代数数的实数统统被称为“超越数”(transcendental
number),它不满足任何一个整系数多项式方程。超越数无疑是更“怪”的数,是否存在这样的数在数学史上早有争论。1844
年,法国数学家柳维尔(Joseph
Liouville)构造了第一个超越数——柳维尔数(Liouville number)。这个数是
0.110001000000000000000001… ,其中小数点后面第 1,2,6,24,120,…
位是 1,其余位都是
0。柳维尔证明了这个数是一个超越数,它不满足任何整系数多项式方程。

1873 年,法国数学家夏尔·埃尔米特(Charles Hermite)证明了自然底数 e
是一个超越数。1882 年,德国数学家林德曼(Ferdinand von
Lindemann)证明了圆周率 π 是一个超越数。

但是,人们对超越数的了解还是太少。至今数学家们仍然不知道,π + e、π –
e、π·e、π/e
是否是超越数。虽然如此,大家还是普遍相信它们都是超越数,毕竟它们不大可能恰好满足一个各项系数都是整数的多项式方程。

圓周率

1+2+4+8=15,合数,那么无法构造出完全数。

(注:从历史角度来看,把“无理数”理解成“无理的数”其实是一种错误的做法。中国最初对
irrational number 的翻译是不对的,irrational
这个单词本应该取“不可比的”之义)

圆的内接正多边形和外接正多边形

π can be estimated by computing the perimeters of circumscribed and
inscribed polygons.

古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212
年)
开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。阿基米德从单位圆出发,先用内接正六边形求出圆周率的下界为3,再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着,他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍,将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形,再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍,直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后,他求出圆周率的下界和上界分别为223/71
和22/7, 并取它们的平均值3.141851
为圆周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念,称得上是“计算数学”的鼻祖。

公元263年,中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率,他先从圆内接正六边形,逐次分割一直算到圆内接正192边形。他说“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”,包含了求极限的思想。刘徽给出π=3.141024的圆周率近似值,刘徽在得圆周率=3.14之后,将这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验,发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形,求出3072边形的面积,得到令自己满意的圆周率

公元480年左右,南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果,给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927,还得到两个近似分数值,密率

和约率

“文化谈”

概率论

设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板,随意抛一支长度比木纹之间距离小的针,求针和其中一条木纹相交的概率。这就是布丰投针问题。1777
年,布丰自己解决了这个问题——这个概率值是
1/π。

孪生质数在数字较小的时候大量存在,随着数字的增大,质数本身越来越稀少,同时孪生质数也越来越困难。目前通过巨型计算机得到的最大的孪生质数为2,996,863,034,895×2^1,290,000±1。这个数字如果打印出来,恐怕要占据几十公里的纸张。

萬有引力定律

1+2+4=7,素数,此处即是28。

三角函數分析

【2】伟大的拉昂纳德·欧拉:大师中的大师,请接受凡人们的膜拜

宇宙運行軌道

故事起源于两千多年前一个命题:化圆为方,即:一个圆形对应的面积可否找到一个正方形。

電磁場方程

中国数学家陈景润

定义2

以圆形半径为边长作一正方形,然後把圆形面积和此正方形面积比。

圆与外接正方形


定义1

一个圆形的周长与直径之比:

命题如下:任何一个大于2的偶数,都可以表达成两个质数之和。

勾股定理

勾股定理

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现在如果这个新的数字是合数,我们知道A*B*C*D……必定有因子ABCD等等,而新构造的数字比这个数字多1,那么毕竟有一个完全不同于ABCD的新的因子出现。为啥必定?留给大家去想。

圓形的概念的形成,是人類認知歷史上的一大里程碑。

看起来代数数无限多,事实上代数数确实无限多;但是却没有超越数多。

相對論

相对论的场方程:

数学界的梵高—- 格奥尔格·康托

代数

π是个无理数,即不可表达成两个整数之比,是由瑞士科学家约翰·海因里希·兰伯特于1761年证明的。
1882年,林德曼(Ferdinand von
Lindemann)更证明了π是超越数,即π不可能是任何整系数多项式的根。

圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺规作图问题的可能性,因所有尺规作图只能得出代数数,而超越数不是代数数。

引子—- 超越数

定义3

满足

的最小正实数。

y=sin(x)

这里的正弦函数定义为幂级数

百度百科:圆周率

Tamar Friedmann and Carl Hagen

18世纪沃利斯发现的经典圆周率公式

随着能量的增加,从变分解的极限公式里,哈根和弗里德曼找到了沃利斯的圆周率公式。

量子力学理论在20世纪初期诞生,而沃利斯圆周率公式已经存在了数百年,但这两者之间的内在关联直到今天才被发现。

考虑到易读性和读者的阅读专注时间,本篇结束。定为上篇。

歐拉公式

欧拉公式:

[Euler’s formula]()

Euler’s formula states that, for any [real number]

![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?e^{ix}=\cos
x+i\sin x)

![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?e^{ix}=\cos x+i\sin x)

where e is the base of the natural
logarithm),
i is the imaginary
unit,
and cos and sin are the trigonometric
functions
cosine and sine respectively, with the argument x given in
radians.

现在欧几里得构造一个新的数字A*B*C*D
……+1,也就是所有的有限的元素全部相乘,然后+1.

统计学

正态分布的概率密度函数:

中国低调落魄的数学家张益唐因为证明了孪生质数的关联命题而一举成名。他证明了如果P是质数,那么在P+7000万的范围内,必定有一个质数。也就是说,孪生质数的命题是质数P和P+2,那么张益唐的贡献在于证明了质数P和P+7000万。这是一个非常了不起的进步,质数是无限,我们无法去验证,但是我们终究将一个无穷的标量简化到了一个确定的数量。事实上,数学界认为张益唐的工作在于,他找到了一个正确的方法。数学家们再接再厉,在张益唐演讲公布结果的两周内,这个数字由7000万到了6000万,现在这个值已经到了246。

又—- 本篇作为本人公众号的“号外”暂定为最后一篇
。后续开始言归正传,进入三个板块:

今天数学家和计算机专家合力,寻找奇完全数,在漫漫的数字中寻找,依然无法找到一个奇完全数存在。数字是无限的,我们无法验算全部,这里我们陷入了困境,我们无法证明奇完全数不存在,也无法找到一个奇完全数。

【1】费马:你到底要坑多少人?

利用计算机的分析能力,验证了海量的数字,确实都满足该猜想。但是我们依然无法从理论上加以证明。中国数学家华罗庚曾经师从哈代研究数论,并在此做了重大推进,后续的陈景润证明:

故事持续了两年前,直到十九世纪林德曼从数论的角度证明了圆周率pai是一个超越数,所以化圆为方不可能。

欧几里得用一种变化的思维来探讨这个问题。假定有一个有限元素的集合N,里面包含了所有的质数,元素为A,B,C,D等等依次排列。

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